Расчет вероятности выигрыша — Timelottery

Расчет вероятности для лотерей с одним лототроном (без бонусных шаров)

Используются только первые два поля, в которых числовая формула лотереи, например: — «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49». Можно просчитать почти любую мировую лотерею. Есть только два ограничения: первое значение не должно превышать 30, а второе — 99.

Если в лотерее не используются дополнительные номера*, то после выбора числовой формулы остается нажать кнопку рассчитать и результат готов. Не важно, вероятность какого события вы хотите узнать – выигрыш джекпота, приз второй/третьей категории или просто выяснить, сложно ли угадать 2-3 номера из нужного количества – результат высчитывается почти моментально!

Лотереи с двумя лототронами (+ бонусный шар)

Примеры — «5 из 36 + 1 из 4» (Гослото), «5 из 60 + 1 из 4» (Cash5Life), «4 из 20 + 4 из 20» (Гослото), «5 из 50 + 2 из 10» (EuroJackpot), «5 из 69 + 1 из 26» (Powerball)

Необходимо заполнить все 4 поля. В первых двух – числовая формула лотереи (5 из 36, 6 из 45 и тд), в третьем и четвертом поле отмечается количество бонусных шаров (x из n). Важно: данный расчет можно использовать только для лотерей с двумя лототронами. Если бонусный шар достается из основного лототрона, то вероятность считается по-другому.

* Так как при использовании двух лототронов шанс выигрыша высчитывается перемножением вероятностей друг на друга, то для корректного расчета лотерей с одним лототроном выбор дополнительного номера по умолчанию стоит как 1 из 1, то есть не учитывается.

Расчет вероятности (развернутые ставки)

В данном случае считается вероятность выигрыша при использовании развернутых ставок. Для примера – если в лотерее 6 из 45, отметить 8 чисел то вероятность выиграть главный приз (6 из 45) составит 1 шанс из 290 895. Пользоваться ли развернутыми ставками – решать вам. С учетом того, что стоимость их получается очень высокая (в данном случае 8 отмеченных чисел это 28 вариантов) стоит узнать свои шансы. Тем более, что сделать это теперь совсем просто!

Шансы выиграть в лотерею

Калькулятор вероятности

Вероятность выигрыша в лотерею зависит от количества возможных комбинаций выпадения шаров и мы сейчас научимся самостоятельно их рассчитывать, а для тех, кто не хочет самостоятельно считать, в конце есть онлайн калькулятор.

Вероя́тность

— степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.

Начнём с простого, у нас есть пять шаров:

1 2 3 4 5

Какова вероятность угадать один шар из пяти? Она равняется 15\frac{1}{5}51​ , есть лишь пять возможных комбинаций для данного набора чисел: выпадет либо 5 , либо 3 , либо 2 , либо 4 , либо 1 .

Давайте для дальнейшего удобства наши лотереи будем обозначать « kkk из nnn », а когда потребуется, будем подставлять соответствующие цифры.

Усложним правила нашей лотереи — для победы необходимо угадать «2 из 5» ( k=2,n=5k = 2, n = 5k=2,n=5 ). Теперь шанс угадать составляет 110\frac{1}{10}101​ , так как есть десять возможных комбинаций, вот они:

Парадокс лотереи — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Парадокс лотереи

, сформулированный профессором Рочестерского университета Генри Кайбергом^[1], возникает из рассмотрения шансов выигрыша в лотерею, в которой разыгрывается, например, 1000 лотерейных билетов, из которых один является выигрышным. Предположим, что событие весьма вероятно тогда, когда его вероятность больше 0,99. На этом основании рациональным представляется предположение, что первый билет этой лотереи не выиграет. Точно также рационально признать, что и второй билет также не выиграет, третий билет также не выиграет и т. д. вплоть до 1000-го билета, что равносильно признанию, что ни один билет не выиграет. Таким образом, мы приходим к противоречию: один билет лотереи обязательно должен выиграть, и в то же время никакой билет лотереи не может выиграть.

Парадокс лотереи является софизмом, поскольку содержит ошибку в рассуждениях. В ходе рассуждений, что первый билет лотереи не выиграет, второй билет лотереи тоже не выиграет, … , n-й билет лотереи тоже не выиграет, употребление слова тоже неправомерно, поскольку каждый из этих выводов делается независимо для каждого билета. Таким образом, вероятность того, что именно этот билет не выиграет, больше 0,99 только для этого одного билета, но не для нескольких билетов сразу. А в случае, когда мы рассматриваем сразу несколько билетов (и тем более — сразу все билеты, один из которых выигрышный), то вероятность того, что они все окажутся невыигрышными, снижается, а вероятность выигрыша одного из них повышается в тем большей степени, чем больше билетов мы рассматриваем.

Как только мы исправляем эту ошибку, то заключительный вывод: «1000-й билет лотереи не выиграет» уже не будет равносилен тому, что ни один билет лотереи не выиграет.

Парадокс лотереи демонстрирует противоречивость трех распространённых принципов рационального принятия решений:

• рационально принимать предположение, которое, по вашему мнению, весьма вероятно является истиной;
• не рационально принимать предположение, которое, по вашему мнению, является противоречивым;
• если рационально принимать предположение A, и рационально принимать предположение В, то тогда рационально принимать оба этих предположения вместе, даже в случае их противоречия друг другу.

Первая публикация о парадоксе лотереи была в 1961 году в статье Г. Кайберга Probability and the Logic of Rational Belief, хотя первая формулировка парадокса появляется в работе «Вероятность и случайность», представленной в 1959 году на заседании Ассоциации символической логики, и в 1960 году на международном конгрессе по истории и философии науки, но опубликованной в журнале Theoria в 1963 году.

• Arlo-Costa, H (2005). «Non-Adjunctive Inference and Classical Modalities», The Journal of Philosophical Logic, 34, 581—605.
• Brown, B. (1999). «Adjunction and Aggregation»,
  Nous, 33(2), 273—283.
• Douven and Williamson (2006). «Generalizing the Lottery Paradox», The British Journal for the Philosophy of Science, 57(4), pp. 755—779.
• Halpern, J. (2003). Reasoning about Uncertainty, Cambridge, MA: MIT Press.
• Hawthorne, J. and Bovens, L. (1999). «The Preface, the Lottery, and the Logic of Belief», Mind, 108: 241—264.
• Hawthorne, J.P. (2004). Knowledge and Lotteries, New York: Oxford University Press.
• Klein, P. (1981). Certainty: a Refutation of Scepticism, Minneapolis, MN: University of Minnesota Press.
• Kyburg, H.E. (1961). Probability and the Logic of Rational Belief , Middletown, CT: Wesleyan University Press.
• Kyburg, H. E. (1983). Epistemology and Inference, Minneapolis, MN: University of Minnesota Press.
• Kyburg, H. E. (1997). «The Rule of Adjunction and Reasonable Inference», Journal of Philosophy, 94(3), 109—125.
• Kyburg, H. E., and Teng, C-M. (2001). Uncertain Inference, Cambridge: Cambridge University Press.
• Lewis, D. (1996). «Elusive Knowledge», Australasian Journal of Philosophy, 74, pp. 549-67.
• Makinson, D. (1965). «The Paradox of the Preface», Analysis, 25: 205—207.
• Pollock, J. (1986). «The Paradox of the Preface», Philosophy of Science , 53, pp. 346—258.
• Smullyan, Raymond. What is the name of this book? (неопр.). — Prentice-Hall (англ.)русск., 1978. — С. 206. — ISBN 0-13-955088-7.
• Wheeler, G. (2006). «Rational Acceptance and Conjunctive/Disjunctive Absorption», Journal of Logic, Language, and Information, 15(1-2): 49-53.
• Wheeler, G. (2007). «A Review of the Lottery Paradox», in William Harper and Gregory Wheeler (eds.) Probability and Inference: Essays in Honour of Henry E. Kyburg, Jr., King’s College Publications, pp. 1-31.

Вероятность выигрыша матча при известной вероятности выигрыша очка / Habr

Надеюсь, среди читателей есть любители спорта. Если Вы играете в бадминтон или настольный теннис, то Вы возможно задавались вопросом: какова вероятность выиграть игру при известной вероятности выиграть очко? Допустим Вы проигрываете своему сопернику со счетом около 11:7. Казалось бы всего 4 очка разницы, но при этом никак не удается выиграть партию. Не везет? Предлагаю решить эту задачу и получить ответ на этот вопрос.

Имея косвенное отношение к финансовой математике я знаю, что именно для финансового математика такая задача покажется особенно несложной. Возможные методы ее решения очень напоминают методы расчета цены опциона. Но есть в этой задачи и нюансы, несколько нетипичные для финансов. Давайте рассмотрим варианты решения.

Для начала я поручил решить такую задачу численными методами своему 15-летнему сыну, который немного занимается программированием на Python (ключевое слово «немного»). Я предложил ему попробовать метод бинарного дерева (в финансовой риск аналитике обычно называется binomial method или lattice) и Монте Карло. Сын на удивление быстро справился с Монте Карло, написав довольно компактный код. Если кто не знает, идея Монте Карло состоит в том, чтобы сделать большое количество случайных вбросов смоделировав задачу и найдя ответ. Допустим Вы – первый игрок. В данном случае мы имеем вероятность выигрыша очка (7/(11+7)) ~=0.39. Начинаем партию, генерируя случайное число X в диапазоне [0.,1.]. Если X < 0.39, значит очко выигрываете Вы. Доводим партию до конца и отмечаем кто победил. Для достижения приемлемой точности проделываем такую процедуру большое количество раз. В финансах обычно используется диапазон от 100К до 1М, это обеспечивает точность 8-ми значащих цифр. Мой сын считал до 10К, это было мгновенно и однозначно обеспечивало достаточную точность. За которой, впрочем мы не гнались, так как для простоты решили проигнорировать козлиный бой. То есть счет 11:10 считали победой. Пол страницы кода легко хватает для решения такой задачи. Попробуйте и вам понравится.

Я не удовлетворился простотой решения с помощью Монте Карло и решил нагрузить сына методом бинарного дерева. Он долго отнекивался и жаловался на сложность. Пришлось ему слегка помочь с матчастью.

Бинарное дерево строится следующим образом. Начинаем со счета 0:0. Если первое очко выигрывает первый игрок, поднимаемся на клетку вверх и вправо, если выигрывает второй – вниз и вправо. Движение вправо – это движение по очкам от начала партии к концу. Для игры до 3-х полное дерево приведено ниже. Синим цветом подсвечены вершины промежуточных результатов, желтым – выигрыши матча первым игроком, и зеленым – выигрыши вторым игроком.

Начинаем со счета 0:0, вероятность которого 100%. Каждый переход вправо имеет свою вероятность. Обозначим вероятность выигрыша очка первым игроком — р1, а вторым – р2. Естественно, сумма р1 + р2 = 1. Идем по дереву от начала к концу и подсчитываем вероятность попадания в данную клетку. Для самых верхних и нижних клеток переход возможен только из одной клетки предыдущего уровня. Например, счет 3:0 возможен только после 2:0. Попадание в остальные клетки происходит из двух соседних слева. Например счет 1:1 возможен после 1:0 при последующем выигрыше очка вторым игроком, или при 0:1 при выигрыше первым игроком.

Синим цветом выделены вершины, попадание в которые происходит из одной предудыщей вершины, желтым – из двух. Выделенные клетки обозначают конец партии, то есть победу одного из игроков. При их подсчете тоже используется лишь одна предыдущая вершина, так как другая является концом партии после которого переход не осуществляется.

Проблема сына была в представлении такого дерева с помощью средств языка. Напрашивался граф, но в Python как-то с этим сложно, либо он не знает. Сам я с этим языком почти не знаком. Пришлось двинуть эту структуру в массив, слегка его перекосив следующим образом.

Дальше остается идти двойным циклом слево направо и сверху вниз подсчитывая верояности ячеек и принимая во внимание граничные условия. Они отливаются в if/if/else. Ну и остается просуммировать вероятности выигрышных ячеек для одного из игроков (можно и для второго чтобы проверить что их сумма равна 1).

Ну и наконец третий метод. Любой финальный счет партии (например 11:7) подразумевает определенное количество вариантов. Статистика говорит что это есть количество сочетаний из 7 по 17. Значение есть 17!/((17-7)!7!). 17 есть общее количество очков, набранное при данном счете минус один, так как последнее очко всегда выигрышное для победителя, то есть 7 проигранных не могут находиться на этом месте. Возможные варианты выигрышных счетов таковы (игнорирую козлиный бой) – 11:0, 11:1,…,11:10.

То есть можно перебрать все исходы выигрышного счета для игрока, просуммировав количество вариантов в каждом из них, умноженное на вероятность данного исхода. В таблице собраны результаты расчетов для вероятности выигрыша очка 39%. power1 – это степень, в которую возводится вероятность выигрыша очка победителем, power2 – проигравшим.

Все приведенные методы надежно работают и дают одинаковые результаты.
В заключении приведу график зависимости вероятности выигрыша матча в настольный теннис (до 11) и в бадминтон (до 21) в зависимости от средней вероятности выигрыша очка.

Синяя линия представляет настольный теннис, оранжевая — бадминтон. Как видно из графика, чтобы иметь хоть какие-то шансы (~3%) выиграть игру в настольный теннис, требуется выигрывать хотя бы 30% очков. Уже при 25% шансы уходят ниже 1%.
В бадминтоне требования еще жестче. Там потребуется более 35% чтобы надеяться на выигрыш игры с вероятностью около 3%.

Естественным образом вероятность выигрыша матча (из нескольких игр) падает еще сильнее если Вы набираете менее 50% по каждому очку.

Ценный совет напрашивается сам собой — чтобы выигрывать матчи, надо работать над выигрышем каждого очка.

Как рассчитать теорию вероятности в лотерее

В мире постоянно проводится множество лотерей с самыми различными правилами, условиями победы, призами, однако существуют общие принципы расчета вероятности выигрыша, которые можно адаптировать под условия той или иной конкретной лотереи. Но для начала желательно определиться с терминологией.

Итак, вероятность – это вычисленная оценка возможности того, что произойдет определенное событие, которая чаще всего выражается в форме отношения числа желаемых событий к общему числу исходов. Например, вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монетки – один к двум.

Исходя из этого, очевидно, что вероятность выигрыша – это соотношение количества выигрышных комбинаций к числу всех возможных. Однако нельзя забывать, что критерии и определения понятия «выигрыш» тоже могут быть разными. К примеру, в большинстве лотерей используется такое определение как «класс выигрыша». Требования к выигрышу третьего класса ниже, чем к выигрышу первого, поэтому вероятность выигрыша первого класса самая низкая. Как правило, таким выигрышем является джек-пот.

Еще один значимый момент в расчетах заключается в том, что вероятность двух связанных событий вычисляется путем перемножения вероятностей каждого из них. Проще говоря, если вы подбросите монетку два раза, то вероятность выпадения «орла» каждый раз будет равна один к двум, но шанс, что «орел» выпадет оба раза, составит лишь один к четырем. В случае с тремя подбрасываниями шанс вообще упадет до одного к восьми.

Таким образом, для расчета шанса выигрыша джек-пота в абстрактной лотерее, где нужно верно угадать несколько выпавших значений из определенного числа шаров (например, 6 из 36), нужно рассчитать вероятность выпадения каждого из шести шаров и перемножить их между собой. Учтите, что с уменьшением числа шаров, оставшихся в барабане, вероятность выпадения нужного шара меняется. Если для первого шара вероятность того, что выпадет нужный, равна 6 к 36, то есть, 1 к 6, то для второго шанс составит 5 к 35 и так далее. В данном примере вероятность того, что билет окажется выигрышным составит 6x5x4x3x2x1 к 36x35x34x33x32x31, то есть 720 к 1402410240, что будет равно 1 к 1947792.

Несмотря на такие пугающие числа, люди регулярно выигрывают в лотереи по всему миру. Не забывайте, что даже если вы не возьмете главный приз, существуют еще выигрыши второго и третьего классов, вероятность получить которые намного выше. Кроме того, очевидно, что наилучшей стратегией является покупка нескольких билетов одного тиража, так как каждый дополнительный билет кратно увеличивает ваши шансы. Например, если купить не один билет, а два, то и вероятность победы будет в два раза больше: два из 1,95 миллиона, то есть примерно 1 к 950 тысячам.